% Pr"aambel: Globale Definitionen
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\title{Interessante Formeln f"ur $\pi$}
\author {Frank Bu"s}
\maketitle

% keine Seitennummerierung f"ur die diese Seite
\thispagestyle{empty}

Leibniz, 1674:
\begin{equation}
\pi = 4 \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + - \cdots \right)
\end{equation}

Euler, 1738:
\begin{equation}
e^{i\pi} + 1 = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \pi = -i \ln{(-1)}
\end{equation}

Euler, 1738:
\begin{equation}
\pi = 4 \int_{0}^{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx
\end{equation}

Bei der folgenden Formel von Euler sind die Z"ahler die ungeraden
Primzahlen und die Nenner sind gerade, nicht durch 4 teilbare
Zahlen, die sich um 1 von den Z"ahlern unterscheiden:
\begin{equation}
\frac{\pi}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} \cdot
  \frac{7}{6} \cdot \frac{11}{10} \cdot \frac{13}{14} \cdot
  \frac{17}{18} \cdot \frac{19}{18} \cdots
\end{equation}

Rabinowitz und Wagon, 1995:
\begin{equation}
\pi = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{n!^{2}2^{n+1}}{\left(2n+1\right)!}}
= 2 + \frac{1}{3}\left(
  2 + \frac{2}{5}\left(
  2 + \frac{3}{7}\left(
  2 + \frac{4}{9}\left(
  2 + \cdots \right)\right)\right)\right)
\end{equation}

Vi\`{e}te, 1593:
\begin{equation}
\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot
  \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot
  \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdot
  \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \cdots
\end{equation}

Brouncker, 1658:
\begin{equation}
\cfrac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1^{2}}
  {2 + \cfrac{3^{2}}
    {2 + \cfrac{5^{2}}
        {2 + \cfrac{7^{2}}
            {2 + \cdots}
        }
    }
  }
\end{equation}

\end{document}